Матрица вместо числа: новая модель переосмысливает R для распространения инфекционных заболеваний
В 1991 году американский социолог Скотт Фелд написал: «У ваших друзей больше друзей, чем у вас». Так называемый парадокс дружбы Фелда гласит, что у друзей любого человека в среднем больше друзей, чем у него самого. Это основано на простом расчете вероятности: люди с хорошими связями с большей вероятностью появляются в социальных кругах других людей.
«Если посмотреть на круг друзей любого человека, то весьма вероятно, что этот круг содержит людей с очень хорошими связями и числом друзей выше среднего», — объясняет исследователь Empa Иван Лунати, глава лаборатории вычислительной инженерии. Похожий принцип послужил Лунати и его команде основой для новой математической модели, которую можно использовать для более точного прогнозирования динамики числа случаев во время эпидемии.
Но что общего у социальных кругов и инфекционных заболеваний ? «Чем больше контактов у человека, тем больше людей он может заразить во время эпидемии», — объясняет Лунати. Однако традиционные эпидемиологические модели предполагают, что каждый заразный человек заражает в среднем одинаковое количество других людей в течение эпидемии. Это число называется репродуктивным числом (R). Если R больше единицы, число случаев увеличивается экспоненциально; если R меньше единицы, оно уменьшается.
Конечно, эта модель упрощена: «Число случаев не может увеличиваться бесконечно, поскольку популяция имеет конечный размер», — говорит Лунати. Быстрый экспоненциальный рост происходит в основном в начале волны, по словам исследователя. Однако со временем остается все меньше и меньше людей, которые все еще могут быть инфицированы, поэтому значение R уменьшается, и рост новых случаев заражения замедляется, пока не будет достигнут пик заражения, и число случаев не начнет падать — кривая, с которой большинство людей, вероятно, знакомы после пандемии COVID.
Не бесконечное число «суперраспространителей»
Эту кривую заражения можно рассчитать с помощью математических методов, чтобы предсказать ее пик. Однако, при предположении, что каждый инфицированный человек заражает одинаковое количество других людей, модель отклоняется от эмпирически измеренных волн заражения. Хотя она может хорошо воспроизводить начало волны, позднее число новых случаев заражения снижается быстрее, чем прогнозировалось, так что пик в конечном итоге оказывается несколько ниже расчетного — даже если никакие новые защитные меры не влияют на ход заражения.
Вместе с исследователями Empa Хоссейном Горджи и Ноэ Штауффером, который также является докторантом EPFL, Лунати задался вопросом: как сделать такие прогнозы более точными? Их ответ имеет параллели с парадоксом дружбы. «Люди с большим количеством социальных контактов заражаются особенно быстро и, в свою очередь, заражают многих других», — объясняет Лунати.
Исследователи также называют таких людей концентраторами или суперраспространителями. В начале волны инфекций именно они являются движущей силой роста числа случаев. Однако число таких суперраспространителей в обществе относительно невелико. Как только они все заражаются — что происходит довольно быстро из-за их многочисленных контактов — распространение болезни замедляется. Традиционные модели, основанные на репродуктивном числе R, не учитывают это замедление.
В своем исследовании, недавно опубликованном в журнале Journal of the Royal Society Interface , Горджи, Штауффер и Лунати предлагают использовать матрицу воспроизводства вместо числа воспроизводства. Эта матрица показывает, насколько быстро люди, принадлежащие к разным группам населения, заражаются другими группами, и, таким образом, учитывает неоднородность контактов.
«Мы хотели выйти за рамки упрощенной интерпретации числа воспроизводства R и лучше охватить сложность реальных эпидемических волн», — говорит Горджи. «Матрица воспроизводства позволяет нам точнее прогнозировать распространение заболевания, принимая во внимание как нелинейность, так и гетерогенность, которые часто упускаются из виду в традиционных моделях».
Помимо эпидемий
При определении этой матрицы воспроизводства ученые опирались на данные других исследований. Для своей модели они разделили общество на группы по возрасту. В среднем больше всего контактов у людей в возрасте от 10 до 25 лет.
«Группировка по возрасту, конечно, является обобщением, поскольку межличностные контакты гораздо сложнее», — объясняет Лунати. «Кроме того, наша модель предполагает, что суперраспространители, а также число случаев равномерно распределены по стране».
«Это предположение не является очень проблематичным для небольших стран с сильно взаимосвязанными регионами и относительно однородными социальными структурами. Однако для крупных стран нам также пришлось бы принимать во внимание географическое распределение населения и контакты между регионами».
Исследователи протестировали свою новую модель на данных COVID из Швейцарии и Шотландии — относительно небольших стран. Они смогли показать, что матрица позволяет гораздо точнее прогнозировать пики заражения. «Конечно, наша модель также сильно упрощена», — говорит Лунати. Однако сила матричной модели заключается именно в ее простоте: «Она очень проста в использовании, но в то же время гораздо более реалистична, чем одно только значение R».
Полезность новой модели не ограничивается эпидемиями: ее можно использовать в разных системах — везде, где объекты распространяются по сети. В будущем исследователи хотят использовать ее для моделирования распространения взглядов, мнений и поведения в обществе — например, когда речь идет о принятии новых технологий или устойчивом образе жизни.